Ondes — Onde Stationnaire

🚀 Introduction

Les ondes stationnaires sont un phénomène fondamental de la physique, observé dans de nombreux domaines : instruments de musique, fibres optiques, télécommunications, etc. Dans cette leçon, nous allons comprendre comment une onde stationnaire se forme, comment l’analyser, et comment la reconnaître dans des situations concrètes. Nous allons relier l’intuition physique aux formules mathématiques, puis appliquer cette compréhension à des exemples typiques du programme NS4.

🧠 Intuition physique

Imaginez une corde tendue, attachée à ses deux extrémités. Si vous la secouez à une certaine fréquence, vous voyez parfois la corde vibrer avec des zones qui semblent immobiles (nœuds) et d’autres qui vibrent fortement (ventres). Rien ne semble « se déplacer » le long de la corde, mais l’énergie oscille entre ces points fixes et ces points mobiles : c’est une onde stationnaire.

Deux ondes de même fréquence et amplitude se propagent en sens opposé.
En se superposant, elles créent une figure stable : certains points restent immobiles (nœuds), d’autres vibrent au maximum (ventres).
Il n’y a pas de transfert net d’énergie d’un bout à l’autre : l’énergie oscille localement.
Ce phénomène apparaît lors de la réflexion d’une onde sur un obstacle (ex : extrémité fixe d’une corde, paroi d’un tube sonore).

Visualisation : Imaginez une corde de guitare pincée : la vibration forme une onde stationnaire, car l’onde incidente (qui part) et l’onde réfléchie (qui revient) se superposent.

📘 Définitions

Onde stationnaire : Résultat de la superposition de deux ondes progressives de même fréquence, même amplitude, se propageant en sens opposé.
Nœud : Point de la corde (ou du milieu) qui reste immobile (amplitude nulle).
Ventre : Point où l’amplitude de vibration est maximale.
Longueur d’onde ( $\$ \\lambda \$$ ) : Distance entre deux nœuds consécutifs multipliée par 2, ou entre deux ventres consécutifs multipliée par 2.
Fréquence ( $\$ f \$$ ) : Nombre d’oscillations par seconde ( $\$ \\mathrm{Hz} \$$ ).
Période ( $\$ T \$$ ) : Durée d’une oscillation complète ( $\$ T = \\frac{1}{f} \$$ ).
Amplitude ( $\$ A \$$ ) : Déplacement maximal par rapport à la position d’équilibre.

📐 Formules importantes

Équation d’une onde stationnaire :

$$y(x, t) = 2A \\sin(kx) \\cos(\\omega t)$$
- $\$ y(x, t) \$$ : déplacement au point $\$ x \$$ à l’instant $\$ t \$$ ( $\$ \\mathrm{m} \$$ )
- $\$ A \$$ : amplitude de chaque onde progressive ( $\$ \\mathrm{m} \$$ )
- $\$ k \$$ : nombre d’onde ( $\$ k = \\frac{2\\pi}{\\lambda} \$$ ) ( $\$ \\mathrm{rad/m} \$$ )
- $\$ \\omega \$$ : pulsation ( $\$ \\omega = 2\\pi f \$$ ) ( $\$ \\mathrm{rad/s} \$$ )
Condition de formation (corde fixe aux deux extrémités) :

$$L = n \\frac{\\lambda}{2}$$
- $\$ L \$$ : longueur de la corde ( $\$ \\mathrm{m} \$$ )
- $\$ n \$$ : nombre entier positif (mode normal, harmonique)
- $\$ \\lambda \$$ : longueur d’onde ( $\$ \\mathrm{m} \$$ )
Relation fréquence-longueur :

$$f_n = \\frac{n v}{2L}$$
- $\$ f_n \$$ : fréquence du n-ième harmonique ( $\$ \\mathrm{Hz} \$$ )
- $\$ v \$$ : vitesse de propagation de l’onde ( $\$ \\mathrm{m/s} \$$ )
Distance entre deux nœuds consécutifs :
$d = \\frac{\\lambda}{2}$

🧭 Méthode générale

Identifier le système : Corde, tube, extrémités fixes ou libres ?
Repérer les nœuds et ventres : Où sont-ils ? Quelle est la distance entre eux ?
Écrire la condition de formation : Utiliser $\$ L = n \\frac{\\lambda}{2} \$$ pour une corde fixe.
Relier à la fréquence : Utiliser $\$ f_n = \\frac{n v}{2L} \$$ pour trouver la fréquence ou la vitesse.
Vérifier les unités : Toujours vérifier la cohérence des unités à chaque étape.
Interpréter physiquement : Que signifie le résultat ? Où sont les nœuds/ventres ?

🟢 Exemple facile

Problème : Une corde de $\$ 1{,}2 \\mathrm{m} \$$ est fixée à ses deux extrémités. La distance entre deux nœuds consécutifs est de $\$ 0{,}6 \\mathrm{m} \$$ . Quelle est la longueur d’onde de l’onde stationnaire ?

Données : $\$ d = 0{,}6 \\mathrm{m} \$$
Cherché : $\$ \\lambda \$$ (longueur d’onde)
Méthode : Utiliser la relation entre la distance entre deux nœuds et la longueur d’onde.
Formule utilisée : $\$ d = \\frac{\\lambda}{2} \$$
Identification des grandeurs :
- $\$ d \$$ : distance entre deux nœuds consécutifs ( $\$ \\mathrm{m} \$$ )
- $\$ \\lambda \$$ : longueur d’onde ( $\$ \\mathrm{m} \$$ )
Substitution : $\$ 0{,}6 = \\frac{\\lambda}{2} \$$
Calcul détaillé : $\$ \\lambda = 2 \\times 0{,}6 = 1{,}2 \\mathrm{m} \$$
Conclusion physique : La longueur d’onde de l’onde stationnaire sur cette corde est $\$ 1{,}2 \\mathrm{m} \$$ .

🟡 Exemple moyen

Problème : Une corde de $\$ 2{,}4 \\mathrm{m} \$$ vibre en onde stationnaire avec 3 nœuds (aux extrémités et au centre). La vitesse de propagation de l’onde est $\$ 120 \\mathrm{m/s} \$$ . Quelle est la fréquence de cette onde stationnaire ?

Données : $\$ L = 2{,}4 \\mathrm{m} \$$ , $\$ v = 120 \\mathrm{m/s} \$$ , nombre de nœuds = 3
Cherché : $\$ f \$$ (fréquence)
Méthode : Identifier le mode (nombre d’ondes), calculer la longueur d’onde, puis la fréquence.
Formules utilisées :
- $\$ L = n \\frac{\\lambda}{2} \$$ (avec $\$ n = \$$ nombre de demi-longueurs d’onde)
- $\$ v = \\lambda f \$$
Identification des grandeurs :
- $\$ L \$$ : longueur de la corde ( $\$ \\mathrm{m} \$$ )
- $\$ n \$$ : nombre de demi-longueurs d’onde = nombre de segments entre nœuds = 2
- $\$ \\lambda \$$ : longueur d’onde ( $\$ \\mathrm{m} \$$ )
- $\$ v \$$ : vitesse de l’onde ( $\$ \\mathrm{m/s} \$$ )
- $\$ f \$$ : fréquence ( $\$ \\mathrm{Hz} \$$ )
Substitution :
- Il y a 3 nœuds, donc 2 segments, donc $\$ n = 2 \$$ .
- $\$ L = n \\frac{\\lambda}{2} \\rightarrow 2{,}4 = 2 \\times \\frac{\\lambda}{2} \\rightarrow \\lambda = 2{,}4 \\mathrm{m} \$$
- $\$ v = \\lambda f \\rightarrow 120 = 2{,}4 \\times f \$$
Calcul détaillé :
- $\$ f = \\frac{120}{2{,}4} = 50 \\mathrm{Hz} \$$
Conclusion physique : La fréquence de cette onde stationnaire est $\$ 50 \\mathrm{Hz} \$$ .

🔴 Exemple difficile

Problème : Une corde de $\$ 1{,}5 \\mathrm{m} \$$ tendue entre deux points fixes vibre selon son troisième harmonique. La vitesse de propagation de l’onde est $\$ 90 \\mathrm{m/s} \$$ . Calculez :

La longueur d’onde de ce mode.
La fréquence correspondante.
Le nombre de nœuds et de ventres.

Données : $\$ L = 1{,}5 \\mathrm{m} \$$ , $\$ v = 90 \\mathrm{m/s} \$$ , harmonique $\$ n = 3 \$$
Cherché :
- (1) $\$ \\lambda \$$
- (2) $\$ f \$$
- (3) nombre de nœuds et de ventres
Méthode :
- Utiliser la condition de formation pour trouver $\$ \\lambda \$$ .
- Utiliser $\$ v = \\lambda f \$$ pour la fréquence.
- Analyser la forme du mode pour les nœuds/ventres.
Formules utilisées :
- $\$ L = n \\frac{\\lambda}{2} \$$
- $\$ v = \\lambda f \$$
Identification des grandeurs :
- $\$ n = 3 \$$ (troisième harmonique)
- $\$ L \$$ : longueur de la corde ( $\$ \\mathrm{m} \$$ )
- $\$ \\lambda \$$ : longueur d’onde ( $\$ \\mathrm{m} \$$ )
- $\$ v \$$ : vitesse ( $\$ \\mathrm{m/s} \$$ )
- $\$ f \$$ : fréquence ( $\$ \\mathrm{Hz} \$$ )
Substitution et calculs détaillés :
1. Longueur d’onde :
  $\$ L = n \\frac{\\lambda}{2} \\rightarrow 1{,}5 = 3 \\times \\frac{\\lambda}{2} \\rightarrow \\lambda = \\frac{2 \\times 1{,}5}{3} = 1{,}0 \\mathrm{m} \$$
2. Fréquence :
  $\$ v = \\lambda f \\rightarrow 90 = 1{,}0 \\times f \\rightarrow f = 90 \\mathrm{Hz} \$$
3. Nœuds et ventres :
  Pour le 3^e harmonique :
  Nombre de nœuds = $\$ n + 1 = 4 \$$
  Nombre de ventres = $\$ n = 3 \$$
Conclusion physique :
- Longueur d’onde : $\$ 1{,}0 \\mathrm{m} \$$
- Fréquence : $\$ 90 \\mathrm{Hz} \$$
- Il y a 4 nœuds (aux extrémités et deux à l’intérieur) et 3 ventres.

⚠️ Erreurs courantes

Confondre onde progressive et onde stationnaire : Dans une onde stationnaire, il n’y a pas de transport net d’énergie le long du milieu.
Se tromper dans le nombre de nœuds : Pour le n-ième harmonique, il y a toujours $\$ n+1 \$$ nœuds.
Oublier les unités : Toujours vérifier que les longueurs sont en mètres, la vitesse en $\$ \\mathrm{m/s} \$$ , la fréquence en $\$ \\mathrm{Hz} \$$ .
Erreur de mode : Bien identifier le mode (fondamental, 2^e harmonique, etc.) selon le nombre de nœuds ou de ventres.
Oublier que la distance entre deux nœuds est $\$ \\frac{\\lambda}{2} \$$ et non $\$ \\lambda \$$ .
Mauvais usage des formules : Toujours définir chaque variable avant de substituer.
Erreur de conversion : Attention à la virgule décimale française dans les calculs.

🎯 Réflexes d’examen

Visualiser la corde ou le tube : dessiner les nœuds et ventres pour chaque mode.
Identifier rapidement le mode harmonique à partir du nombre de nœuds ou ventres.
Écrire systématiquement les données, le cherché, la méthode et la formule avant de calculer.
Vérifier la cohérence des unités à chaque étape.
Interpréter physiquement le résultat : est-il plausible ?
En cas de doute, refaire le schéma de l’onde stationnaire.
Se rappeler que pour une corde fixe aux deux extrémités, les extrémités sont toujours des nœuds.

🟣 Exemple guidé

Problème : Une corde de $\$ 1{,}8 \\mathrm{m} \$$ est tendue entre deux points fixes. On observe une onde stationnaire avec 2 ventres. La vitesse de l’onde est $\$ 60 \\mathrm{m/s} \$$ . Trouver la fréquence de cette onde stationnaire.

Données : $\$ L = 1{,}8 \\mathrm{m} \$$ , $\$ v = 60 \\mathrm{m/s} \$$ , nombre de ventres = 2
Cherché : $\$ f \$$ (fréquence)
Méthode : Identifier le mode, calculer la longueur d’onde, puis la fréquence.
Étape 1 : Identifier le mode
- Nombre de ventres = nombre d’harmoniques = $\$ n \$$
- Donc $\$ n = 2 \$$
Étape 2 : Condition de formation
- $\$ L = n \\frac{\\lambda}{2} \$$
- $\$ 1{,}8 = 2 \\times \\frac{\\lambda}{2} \\rightarrow \\lambda = 1{,}8 \\mathrm{m} \$$
Étape 3 : Calcul de la fréquence
- $\$ v = \\lambda f \\rightarrow 60 = 1{,}8 \\times f \\rightarrow f = \\frac{60}{1{,}8} = 33{,}3 \\mathrm{Hz} \$$
Conclusion physique : La fréquence de cette onde stationnaire est $\$ 33{,}3 \\mathrm{Hz} \$$ .

📝 Exercice d’application

Énoncé : Une corde de $\$ 2{,}0 \\mathrm{m} \$$ est tendue entre deux points fixes. On observe une onde stationnaire avec 5 nœuds (y compris les extrémités). La vitesse de propagation de l’onde est $\$ 80 \\mathrm{m/s} \$$ .

Quelle est la longueur d’onde de cette onde stationnaire ?
Quelle est la fréquence correspondante ?
Combien y a-t-il de ventres ?

Corrigé :

Données : $\$ L = 2{,}0 \\mathrm{m} \$$ , $\$ v = 80 \\mathrm{m/s} \$$ , nombre de nœuds = 5
Cherché : $\$ \\lambda \$$ , $\$ f \$$ , nombre de ventres
Étape 1 : Nombre de segments = nombre de nœuds – 1 = 4, donc $\$ n = 4 \$$
Étape 2 : $\$ L = n \\frac{\\lambda}{2} \\rightarrow 2{,}0 = 4 \\times \\frac{\\lambda}{2} \\rightarrow \\lambda = \\frac{2{,}0}{2} = 1{,}0 \\mathrm{m} \$$
Étape 3 : $\$ v = \\lambda f \\rightarrow 80 = 1{,}0 \\times f \\rightarrow f = 80 \\mathrm{Hz} \$$
Étape 4 : Nombre de ventres = nombre de segments = 4
Réponses :
- (1) $\$ \\lambda = 1{,}0 \\mathrm{m} \$$
- (2) $\$ f = 80 \\mathrm{Hz} \$$
- (3) Il y a 4 ventres.

✅ Résumé final

Une onde stationnaire résulte de la superposition de deux ondes progressives de même fréquence, amplitude, sens opposé.
Les nœuds sont des points immobiles, les ventres vibrent au maximum.
Sur une corde fixe aux deux extrémités, la distance entre deux nœuds est $\$ \\frac{\\lambda}{2} \$$ .
La condition de formation est $\$ L = n \\frac{\\lambda}{2} \$$ , où $\$ n \$$ est le mode harmonique.
La fréquence du n-ième harmonique est $\$ f_n = \\frac{n v}{2L} \$$ .
Pour réussir les exercices : bien identifier les nœuds/ventres, écrire les formules, vérifier les unités, interpréter physiquement les résultats.
Ce chapitre est fondamental pour comprendre la physique des instruments, la propagation du son, et de nombreux phénomènes d’ondes.