Radioactivite — Decroissance Radioactive

🚀 Introduction

La décroissance radioactive est un phénomène naturel fondamental de la physique nucléaire. Elle décrit comment certains noyaux atomiques instables se transforment spontanément en d’autres noyaux plus stables, en émettant des particules et/ou de l’énergie. Comprendre la décroissance radioactive est essentiel pour expliquer la radioactivité, la datation, la médecine nucléaire et la production d’énergie nucléaire. Dans cette leçon, nous allons explorer l’intuition physique, les lois mathématiques, les méthodes de résolution, et nous entraîner avec des exemples progressifs pour maîtriser ce concept clé du programme NS4.

🧠 Intuition physique

Imaginez un grand nombre de noyaux radioactifs, par exemple dans une roche contenant de l’uranium. Chaque noyau est comme une bille instable qui peut « sauter » à tout moment, mais on ne sait pas quand. Ce saut correspond à une désintégration radioactive : le noyau se transforme en un autre noyau, en émettant une particule (alpha, bêta, gamma).

Ce processus est aléatoire pour chaque noyau : impossible de prédire le moment exact pour un noyau donné.
Mais, si l’on observe un grand nombre de noyaux, on remarque une régularité statistique : la proportion de noyaux qui se désintègrent pendant une durée donnée est constante.
Au fil du temps, le nombre de noyaux radioactifs décroît progressivement, mais jamais instantanément.

La décroissance radioactive est donc un phénomène collectif et probabiliste, gouverné par des lois mathématiques précises.

📘 Définitions

Noyau radioactif : Noyau instable qui peut se transformer spontanément en un autre noyau, en émettant des particules et/ou de l’énergie.
Désintégration : Transformation spontanée d’un noyau radioactif en un autre noyau.
Constante de décroissance ( $\$ \\lambda \$$ ) : Probabilité par unité de temps qu’un noyau se désintègre ( $\$ \\mathrm{s}^{-1} \$$ ).
Nombre de noyaux restants ( $\$ N(t) \$$ ) : Nombre de noyaux radioactifs non désintégrés à l’instant $\$ t \$$ .
Nombre initial de noyaux ( $\$ N_0 \$$ ) : Nombre de noyaux radioactifs au temps initial ( $\$ t = 0 \$$ ).
Période radioactive ou demi-vie ( $\$ T_{1/2} \$$ ) : Temps nécessaire pour que la moitié des noyaux radioactifs se désintègre.
Activité ( $\$ A \$$ ) : Nombre de désintégrations par seconde ( $\$ \\mathrm{Bq} \$$ , becquerel).

📐 Formules importantes

Loi de décroissance radioactive :

$$N(t) = N_0 e^{-\\lambda t}$$
- $\$ N(t) \$$ : nombre de noyaux restants à l’instant $\$ t \$$ ( $\$ \\mathrm{sans unité} \$$ )
- $\$ N_0 \$$ : nombre initial de noyaux ( $\$ \\mathrm{sans unité} \$$ )
- $\$ \\lambda \$$ : constante de décroissance ( $\$ \\mathrm{s}^{-1} \$$ )
- $\$ t \$$ : temps écoulé ( $\$ \\mathrm{s} \$$ )
Relation entre la constante de décroissance et la demi-vie :

$$T_{1/2} = \\frac{\\ln 2}{\\lambda}$$
- $\$ T_{1/2} \$$ : demi-vie ( $\$ \\mathrm{s} \$$ )
- $\$ \\lambda \$$ : constante de décroissance ( $\$ \\mathrm{s}^{-1} \$$ )
Activité à l’instant $\$ t \$$ :

$$A(t) = \\lambda N(t)$$
- $\$ A(t) \$$ : activité à l’instant $\$ t \$$ ( $\$ \\mathrm{Bq} \$$ )
- $\$ \\lambda \$$ : constante de décroissance ( $\$ \\mathrm{s}^{-1} \$$ )
- $\$ N(t) \$$ : nombre de noyaux restants ( $\$ \\mathrm{sans unité} \$$ )

🧭 Méthode générale

Analyser l’énoncé : Identifier les données (nombre initial, temps, demi-vie, activité, etc.) et ce qu’il faut calculer.
Choisir la formule adaptée : Loi de décroissance, relation demi-vie/constante, activité, etc.
Identifier les variables : Vérifier les unités et les valeurs numériques.
Substituer les valeurs : Remplacer chaque variable par sa valeur numérique avec l’unité correcte.
Calculer étape par étape : Faire attention aux puissances, exponentielles et conversions d’unités.
Interpréter le résultat : Vérifier si le résultat est cohérent physiquement (par exemple, le nombre de noyaux doit décroître).

🟢 Exemple facile

Calcul du nombre de noyaux restants après un temps donné

Données : $\$ N_0 = 1 000 \$$ noyaux, $\$ \\lambda = 0{,}002 \\mathrm{s}^{-1} \$$ , $\$ t = 500 \\mathrm{s} \$$
Cherché : Nombre de noyaux restants $\$ N(t) \$$ après 500 s.
Méthode : Utiliser la loi de décroissance radioactive.
Formule utilisée : $\$ N(t) = N_0 e^{-\\lambda t} \$$
Identification des grandeurs :
- $\$ N_0 = 1 000 \$$
- $\$ \\lambda = 0{,}002 \\mathrm{s}^{-1} \$$
- $\$ t = 500 \\mathrm{s} \$$
Substitution : $N(500) = 1 000 \\times e^{-0{,}002 \\times 500}$
Calcul détaillé :
- $\$ 0{,}002 \\times 500 = 1 \$$
- $\$ e^{-1} \\approx 0{,}368 \$$
- $\$ N(500) = 1 000 \\times 0{,}368 = 368 \$$
Conclusion physique : Après 500 s, il reste environ 368 noyaux non désintégrés sur les 1 000 initiaux.

🟡 Exemple moyen

Détermination de la demi-vie à partir de la constante de décroissance

Données : $\$ \\lambda = 0{,}005 \\mathrm{s}^{-1} \$$
Cherché : Demi-vie $\$ T_{1/2} \$$
Méthode : Utiliser la relation entre la demi-vie et la constante de décroissance.
Formule utilisée : $\$ T_{1/2} = \\frac{\\ln 2}{\\lambda} \$$
Identification des grandeurs :
- $\$ \\lambda = 0{,}005 \\mathrm{s}^{-1} \$$
- $\$ \\ln 2 \\approx 0{,}693 \$$
Substitution : $T_{1/2} = \\frac{0{,}693}{0{,}005}$
Calcul détaillé :
- $\$ 0{,}693 \\div 0{,}005 = 138{,}6 \$$
Conclusion physique : La demi-vie de ce noyau est de 138,6 s. Cela signifie qu’au bout de 138,6 s, la moitié des noyaux initiaux se seront désintégrés.

🔴 Exemple difficile

Problème complet : activité et fraction restante après plusieurs demi-vies

Données :
- $\$ N_0 = 5 000 \$$ noyaux
- Demi-vie $\$ T_{1/2} = 30 \\mathrm{min} = 1 800 \\mathrm{s} \$$
- Temps écoulé $\$ t = 3 600 \\mathrm{s} \$$
Cherché :
- a) Nombre de noyaux restants $\$ N(t) \$$
- b) Activité à l’instant $\$ t \$$ , $\$ A(t) \$$
- c) Fraction des noyaux restants
Méthode :
1. Calculer la constante de décroissance $\$ \\lambda \$$ à partir de la demi-vie.
2. Utiliser la loi de décroissance pour trouver $\$ N(t) \$$ .
3. Calculer l’activité avec $\$ A(t) = \\lambda N(t) \$$ .
4. Déterminer la fraction restante $\$ \\frac{N(t)}{N_0} \$$ .
Formules utilisées :
- $\$ \\lambda = \\frac{\\ln 2}{T_{1/2}} \$$
- $\$ N(t) = N_0 e^{-\\lambda t} \$$
- $\$ A(t) = \\lambda N(t) \$$
Identification des grandeurs :
- $\$ N_0 = 5 000 \$$
- $\$ T_{1/2} = 1 800 \\mathrm{s} \$$
- $\$ t = 3 600 \\mathrm{s} \$$
- $\$ \\ln 2 \\approx 0{,}693 \$$
Calculs détaillés :
1. Constante de décroissance : $\\lambda = \\frac{0{,}693}{1 800} = 0{,}000385 \\mathrm{s}^{-1}$
2. Nombre de noyaux restants :
  - $\$ \\lambda t = 0{,}000385 \\times 3 600 = 1{,}386 \$$
  - $\$ e^{-1{,}386} \\approx 0{,}250 \$$
  - Donc, $\$ N(3 600) = 5 000 \\times 0{,}250 = 1 250 \$$
3. Activité à l’instant $\$ t \$$ :
  - $\$ A(3 600) = 0{,}000385 \\times 1 250 = 0{,}481 \\mathrm{Bq} \$$
4. Fraction restante :
  - $\$ \\frac{N(3 600)}{N_0} = \\frac{1 250}{5 000} = 0{,}25 \$$ soit 25 %
Conclusion physique :
- Après 2 demi-vies (3 600 s), il reste 25 % des noyaux initiaux.
- L’activité a fortement diminué, car il reste moins de noyaux à désintégrer.

⚠️ Erreurs courantes

Confondre la demi-vie ( $\$ T_{1/2} \$$ ) avec le temps total écoulé.
Oublier de convertir la demi-vie en secondes si le temps est en secondes.
Utiliser la formule $\$ N(t) = N_0 – \\lambda t \$$ (FAUX !), la décroissance n’est pas linéaire mais exponentielle.
Oublier l’exposant négatif dans l’exponentielle.
Utiliser des unités incohérentes (ex : minutes au lieu de secondes).
Arrondir trop tôt dans les calculs intermédiaires.
Confondre activité ( $\$ A \$$ ) et nombre de noyaux ( $\$ N \$$ ).

🎯 Réflexes d’examen

Vérifier systématiquement les unités avant de calculer.
Identifier clairement ce qui est donné et ce qui est cherché.
Écrire la formule générale AVANT de substituer les valeurs numériques.
Utiliser la forme exponentielle pour la décroissance, jamais une soustraction simple.
En cas de question sur la fraction restante après $\$ n \$$ demi-vies, se rappeler que $\$ \\left(\\frac{1}{2}\\right)^n \$$ donne la fraction restante.
Pour l’activité, ne pas oublier que $\$ A(t) \$$ diminue avec le temps.
Bien distinguer entre constante de décroissance et demi-vie.
En cas de doute, faire un schéma temporel ou un tableau pour visualiser la décroissance.

🧑‍🏫 Exemple guidé

Un isotope a une demi-vie de 20 minutes. On commence avec 2 000 noyaux. Combien en reste-t-il après 1 heure ?

Données :
- $\$ N_0 = 2 000 \$$
- $\$ T_{1/2} = 20 \\mathrm{min} = 1 200 \\mathrm{s} \$$
- $\$ t = 1 \\mathrm{h} = 3 600 \\mathrm{s} \$$
Cherché : $\$ N(3 600) \$$
Méthode :
1. Calculer la constante de décroissance $\$ \\lambda \$$ .
2. Appliquer la loi de décroissance.
Formule utilisée : $\$ N(t) = N_0 e^{-\\lambda t} \$$
Calculs :
1. $\$ \\lambda = \\frac{0{,}693}{1 200} = 0{,}000577 \\mathrm{s}^{-1} \$$
2. $\$ \\lambda t = 0{,}000577 \\times 3 600 = 2{,}077 \$$
3. $\$ e^{-2{,}077} \\approx 0{,}125 \$$
4. $\$ N(3 600) = 2 000 \\times 0{,}125 = 250 \$$
Conclusion : Après 1 heure (3 demi-vies), il reste 250 noyaux sur les 2 000 initiaux.

📝 Exercice d’application

Un échantillon contient 10 000 noyaux d’un isotope radioactif dont la demi-vie est de 15 minutes. Calculez :

Le nombre de noyaux restants après 45 minutes.
L’activité initiale de l’échantillon.

Corrigé :

1) Nombre de noyaux restants :
- $\$ N_0 = 10 000 \$$
- $\$ T_{1/2} = 15 \\mathrm{min} = 900 \\mathrm{s} \$$
- $\$ t = 45 \\mathrm{min} = 2 700 \\mathrm{s} \$$
- $\$ \\lambda = \\frac{0{,}693}{900} = 0{,}00077 \\mathrm{s}^{-1} \$$
- $\$ \\lambda t = 0{,}00077 \\times 2 700 = 2{,}079 \$$
- $\$ e^{-2{,}079} \\approx 0{,}125 \$$
- $\$ N(2 700) = 10 000 \\times 0{,}125 = 1 250 \$$
Réponse : Il reste 1 250 noyaux après 45 minutes.
2) Activité initiale :
- $\$ A_0 = \\lambda N_0 = 0{,}00077 \\times 10 000 = 7{,}7 \\mathrm{Bq} \$$
Réponse : L’activité initiale est 7,7 Bq.

✅ Résumé final

La décroissance radioactive est un phénomène aléatoire, mais prévisible statistiquement sur un grand nombre de noyaux.
La loi de décroissance radioactive est exponentielle : $\$ N(t) = N_0 e^{-\\lambda t} \$$ .
La demi-vie est le temps au bout duquel la moitié des noyaux se sont désintégrés.
L’activité mesure le nombre de désintégrations par seconde ( $\$ \\mathrm{Bq} \$$ ).
Pour réussir les exercices, il faut :
- Analyser les données et les unités
- Choisir la bonne formule
- Calculer étape par étape
- Vérifier la cohérence physique du résultat
Maîtriser la décroissance radioactive est indispensable pour comprendre la radioactivité, la datation, la médecine et l’énergie nucléaire.