Electricite Magnetisme — Condensateurs

🚀 Introduction

Les condensateurs jouent un rôle fondamental dans les circuits électriques et électroniques. Ils permettent de stocker de l’énergie sous forme de champ électrique, de filtrer des signaux, de séparer des charges, et d’intervenir dans de nombreux phénomènes liés aux courants variables. Comprendre leur fonctionnement, leur modélisation mathématique et leur association est essentiel pour réussir les examens NS4 et pour développer une intuition solide en physique.

🧠 Intuition physique

Imaginez deux plaques métalliques parallèles, séparées par un isolant (air ou autre matériau). Si l’on relie ces plaques à une source de tension, des électrons s’accumulent sur une plaque (négative) tandis que l’autre perd des électrons (positive). Il se crée alors un champ électrique entre les plaques, et de l’énergie est stockée sans qu’il y ait passage direct de charges d’une plaque à l’autre.

Que se passe-t-il si on débranche la source ? Les charges restent piégées sur les plaques : le condensateur reste chargé.

Que se passe-t-il si on relie les deux plaques ? Les charges se déplacent, le champ s’annule, et l’énergie stockée est libérée.

En résumé : Un condensateur stocke de l’énergie électrique et peut la restituer rapidement. Il ne laisse pas passer le courant continu, mais il est essentiel dans les circuits à courant variable.

📘 Définitions

Condensateur : Dispositif constitué de deux conducteurs (plaques) séparés par un isolant (diélectrique), capable de stocker des charges électriques et de l’énergie.
Capacité ( $\$ C \$$ ) : Grandeur caractéristique d’un condensateur, exprimée en farads ( $\$ \\mathrm{F} \$$ ), qui mesure la quantité de charge stockée par volt appliqué.
Charge ( $\$ Q \$$ ) : Quantité d’électricité accumulée sur une plaque, exprimée en coulombs ( $\$ \\mathrm{C} \$$ ).
Tension ( $\$ U \$$ ) : Différence de potentiel entre les deux plaques, exprimée en volts ( $\$ \\mathrm{V} \$$ ).
Énergie stockée ( $\$ E \$$ ) : Énergie électrique emmagasinée dans le condensateur, exprimée en joules ( $\$ \\mathrm{J} \$$ ).

📐 Formules importantes

Relation fondamentale :

$$Q = C \\times U$$
- $\$ Q \$$ : charge en coulombs ( $\$ \\mathrm{C} \$$ )
- $\$ C \$$ : capacité en farads ( $\$ \\mathrm{F} \$$ )
- $\$ U \$$ : tension en volts ( $\$ \\mathrm{V} \$$ )
Cette formule exprime que la charge stockée est proportionnelle à la tension appliquée.
Énergie stockée :

$$E = \\frac{1}{2} C U^2$$
- $\$ E \$$ : énergie en joules ( $\$ \\mathrm{J} \$$ )
- $\$ C \$$ : capacité en farads ( $\$ \\mathrm{F} \$$ )
- $\$ U \$$ : tension en volts ( $\$ \\mathrm{V} \$$ )
L’énergie stockée dépend du carré de la tension.
Capacité d’un condensateur plan :

$$C = \\varepsilon \\frac{S}{d}$$
- $\$ \\varepsilon \$$ : permittivité du diélectrique ( $\$ \\mathrm{F/m} \$$ )
- $\$ S \$$ : surface d’une plaque ( $\$ \\mathrm{m^2} \$$ )
- $\$ d \$$ : distance entre les plaques ( $\$ \\mathrm{m} \$$ )
Plus les plaques sont grandes et proches, plus la capacité est grande.
Associations de condensateurs :
- En série :
  $\\frac{1}{C_{\\mathrm{eq}}} = \\frac{1}{C_1} + \\frac{1}{C_2} + \\cdots$
- En parallèle :
  $C_{\\mathrm{eq}} = C_1 + C_2 + \\cdots$
Attention : le comportement est opposé à celui des résistances !

🧭 Méthode générale

Lire attentivement l’énoncé : Identifier le type de condensateur, les données ( $\$ C \$$ , $\$ U \$$ , $\$ Q \$$ , $\$ E \$$ , association).
Faire un schéma : Visualiser les plaques, les connexions, les associations.
Identifier la grandeur cherchée : Charge, tension, capacité, énergie ?
Choisir la formule adaptée : Selon la grandeur à calculer.
Vérifier les unités : Toujours convertir en unités SI avant de calculer.
Appliquer la formule : Substituer les valeurs numériques.
Interpréter le résultat : Est-il réaliste ? Les unités sont-elles correctes ?

🟢 Exemple facile

Calcul de la charge stockée

Données : $\$ C = 470 \\mathrm{\\mu F} = 470 \\times 10^{-6} \\mathrm{F} \$$ , $\$ U = 12 \\mathrm{V} \$$
Cherché : La charge $\$ Q \$$ stockée sur le condensateur.
Méthode : Utiliser la formule fondamentale $\$ Q = C \\times U \$$ .
Formule utilisée : $\$ Q = C \\times U \$$
Identification des grandeurs : $\$ C = 470 \\times 10^{-6} \\mathrm{F} \$$ , $\$ U = 12 \\mathrm{V} \$$
Substitution : $\$ Q = 470 \\times 10^{-6} \\times 12 \$$
Calcul détaillé :
$\$ Q = 470 \\times 12 \\times 10^{-6} = 5640 \\times 10^{-6} = 5{,}64 \\times 10^{-3} \\mathrm{C} \$$
Conclusion physique : Le condensateur stocke une charge de $\$ 5{,}64 \\mathrm{mC} \$$ lorsqu’il est soumis à $\$ 12 \\mathrm{V} \$$ .

🟡 Exemple moyen

Énergie stockée dans un condensateur

Données : $\$ C = 2{,}2 \\mathrm{\\mu F} = 2{,}2 \\times 10^{-6} \\mathrm{F} \$$ , $\$ U = 100 \\mathrm{V} \$$
Cherché : L’énergie $\$ E \$$ stockée dans le condensateur.
Méthode : Utiliser la formule de l’énergie : $\$ E = \\frac{1}{2} C U^2 \$$ .
Formule utilisée : $\$ E = \\frac{1}{2} C U^2 \$$
Identification des grandeurs : $\$ C = 2{,}2 \\times 10^{-6} \\mathrm{F} \$$ , $\$ U = 100 \\mathrm{V} \$$
Substitution : $\$ E = \\frac{1}{2} \\times 2{,}2 \\times 10^{-6} \\times (100)^2 \$$
Calcul détaillé :
$\$ (100)^2 = 10 000 \$$
$\$ E = 0{,}5 \\times 2{,}2 \\times 10^{-6} \\times 10 000 \$$
$\$ E = 1{,}1 \\times 10^{-6} \\times 10 000 = 1{,}1 \\times 10^{-2} \\mathrm{J} \$$
Conclusion physique : Le condensateur emmagasine $\$ 0{,}011 \\mathrm{J} \$$ d’énergie sous $\$ 100 \\mathrm{V} \$$ .

🔴 Exemple difficile

Association série-parallèle de condensateurs

Données : Trois condensateurs : $\$ C_1 = 4{,}7 \\mathrm{\\mu F} \$$ , $\$ C_2 = 10 \\mathrm{\\mu F} \$$ , $\$ C_3 = 2{,}2 \\mathrm{\\mu F} \$$ . $\$ C_2 \$$ et $\$ C_3 \$$ sont en série, leur ensemble est en parallèle avec $\$ C_1 \$$ . Tension totale : $\$ U = 20 \\mathrm{V} \$$ .
Cherché : Capacité équivalente $\$ C_{\\mathrm{eq}} \$$ et charge totale stockée.
Méthode :
1. Calculer la capacité équivalente de $\$ C_2 \$$ et $\$ C_3 \$$ en série :
2. Ajouter $\$ C_1 \$$ en parallèle à ce résultat.
3. Calculer la charge totale avec $\$ Q = C_{\\mathrm{eq}} \\times U \$$ .
Formule utilisée :
- Série : $\$ \\frac{1}{C_{23}} = \\frac{1}{C_2} + \\frac{1}{C_3} \$$
- Parallèle : $\$ C_{\\mathrm{eq}} = C_1 + C_{23} \$$
- Charge : $\$ Q = C_{\\mathrm{eq}} \\times U \$$
Identification des grandeurs :
- $\$ C_1 = 4{,}7 \\mathrm{\\mu F} = 4{,}7 \\times 10^{-6} \\mathrm{F} \$$
- $\$ C_2 = 10 \\mathrm{\\mu F} = 10 \\times 10^{-6} \\mathrm{F} \$$
- $\$ C_3 = 2{,}2 \\mathrm{\\mu F} = 2{,}2 \\times 10^{-6} \\mathrm{F} \$$
- $\$ U = 20 \\mathrm{V} \$$
Substitution et calcul détaillé :
- Série :
  $\$ \\frac{1}{C_{23}} = \\frac{1}{10 \\times 10^{-6}} + \\frac{1}{2{,}2 \\times 10^{-6}} \$$
  $\$ \\frac{1}{C_{23}} = 100 000 + 454 545 = 554 545 \\mathrm{F}^{-1} \$$
  $\$ C_{23} = \\frac{1}{554 545} \\approx 1{,}8 \\times 10^{-6} \\mathrm{F} \$$
- Parallèle :
  $\$ C_{\\mathrm{eq}} = 4{,}7 \\times 10^{-6} + 1{,}8 \\times 10^{-6} = 6{,}5 \\times 10^{-6} \\mathrm{F} \$$
- Charge totale :
  $\$ Q = 6{,}5 \\times 10^{-6} \\times 20 = 130 \\times 10^{-6} = 1{,}3 \\times 10^{-4} \\mathrm{C} \$$
Conclusion physique : L’association équivalente a une capacité de $\$ 6{,}5 \\mathrm{\\mu F} \$$ et peut stocker une charge totale de $\$ 130 \\mathrm{\\mu C} \$$ sous $\$ 20 \\mathrm{V} \$$ .

⚠️ Erreurs courantes

Confondre les formules d’association série/parallèle avec celles des résistances.
Oublier de convertir les microfarads ( $\$ \\mu F \$$ ) en farads ( $\$ 1 \\mu F = 10^{-6} \\mathrm{F} \$$ ).
Utiliser la formule de l’énergie avec la tension totale alors qu’il faut parfois utiliser la tension propre à chaque condensateur.
Oublier que la charge est la même pour tous les condensateurs en série, mais la tension se répartit.
Ne pas vérifier la cohérence des unités (par exemple, additionner des valeurs en $\$ \\mathrm{\\mu F} \$$ et en $\$ \\mathrm{F} \$$ ).
Erreur de signe : la charge stockée est toujours positive.

🎯 Réflexes d’examen

Faire systématiquement un schéma de l’association de condensateurs.
Repérer si les condensateurs sont en série ou en parallèle avant d’appliquer une formule.
Vérifier les unités à chaque étape du calcul.
Écrire explicitement la méthode : données, cherché, formule, substitution, calcul, conclusion.
En cas d’association complexe, simplifier étape par étape (sous-groupes).
Pour l’énergie, attention à utiliser la tension propre à chaque condensateur si nécessaire.
Relire la question pour ne pas oublier la grandeur réellement demandée (charge, énergie, capacité…)

🟣 Exemple guidé

Capacité d’un condensateur plan

Données : Deux plaques de surface $\$ S = 0{,}02 \\mathrm{m^2} \$$ , séparées par $\$ d = 1{,}0 \\mathrm{mm} = 1{,}0 \\times 10^{-3} \\mathrm{m} \$$ , diélectrique : air ( $\$ \\varepsilon_0 = 8{,}85 \\times 10^{-12} \\mathrm{F/m} \$$ ).
Cherché : La capacité $\$ C \$$ du condensateur.
Méthode : Utiliser la formule $\$ C = \\varepsilon \\frac{S}{d} \$$ .
Formule utilisée : $\$ C = \\varepsilon_0 \\frac{S}{d} \$$
Identification des grandeurs : $\$ \\varepsilon_0 = 8{,}85 \\times 10^{-12} \\mathrm{F/m} \$$ , $\$ S = 0{,}02 \\mathrm{m^2} \$$ , $\$ d = 1{,}0 \\times 10^{-3} \\mathrm{m} \$$
Substitution : $\$ C = 8{,}85 \\times 10^{-12} \\times \\frac{0{,}02}{1{,}0 \\times 10^{-3}} \$$
Calcul détaillé :
$\$ \\frac{0{,}02}{1{,}0 \\times 10^{-3}} = 20 \$$
$\$ C = 8{,}85 \\times 10^{-12} \\times 20 = 1{,}77 \\times 10^{-10} \\mathrm{F} \$$
Conclusion physique : La capacité du condensateur plan est de $\$ 177 \\mathrm{pF} \$$ ( $\$ 1 \\mathrm{pF} = 10^{-12} \\mathrm{F} \$$ ).

📝 Exercice d’application

Énoncé :
Deux condensateurs, $\$ C_1 = 3{,}3 \\mathrm{\\mu F} \$$ et $\$ C_2 = 6{,}8 \\mathrm{\\mu F} \$$ , sont associés en série et soumis à une tension de $\$ 24 \\mathrm{V} \$$ .

Questions :

Calculer la capacité équivalente de l’association.
Déterminer la charge stockée sur chaque condensateur.
Calculer la tension aux bornes de chaque condensateur.

Corrigé guidé :

Capacité équivalente :
$\$ C_1 = 3{,}3 \\times 10^{-6} \\mathrm{F} \$$ , $\$ C_2 = 6{,}8 \\times 10^{-6} \\mathrm{F} \$$
$\$ \\frac{1}{C_{\\mathrm{eq}}} = \\frac{1}{3{,}3 \\times 10^{-6}} + \\frac{1}{6{,}8 \\times 10^{-6}} \$$
$\$ \\frac{1}{C_{\\mathrm{eq}}} = 303 030 + 147 059 = 450 089 \$$
$\$ C_{\\mathrm{eq}} = \\frac{1}{450 089} \\approx 2{,}22 \\times 10^{-6} \\mathrm{F} \$$
Charge stockée :
$\$ Q = C_{\\mathrm{eq}} \\times U = 2{,}22 \\times 10^{-6} \\times 24 = 53{,}3 \\times 10^{-6} \\mathrm{C} = 53{,}3 \\mathrm{\\mu C} \$$
Tension aux bornes :
En série, la charge est la même sur chaque condensateur.
$\$ U_1 = \\frac{Q}{C_1} = \\frac{53{,}3 \\times 10^{-6}}{3{,}3 \\times 10^{-6}} = 16{,}2 \\mathrm{V} \$$
$\$ U_2 = \\frac{Q}{C_2} = \\frac{53{,}3 \\times 10^{-6}}{6{,}8 \\times 10^{-6}} = 7{,}8 \\mathrm{V} \$$
Vérification : $\$ U_1 + U_2 = 16{,}2 + 7{,}8 = 24 \\mathrm{V} \$$ (cohérent)

✅ Résumé final

Un condensateur stocke de l’énergie sous forme de champ électrique entre deux plaques conductrices séparées par un isolant.
La capacité ( $\$ C \$$ ) mesure la quantité de charge stockée par volt appliqué ( $\$ Q = C \\times U \$$ ).
L’énergie stockée est donnée par $\$ E = \\frac{1}{2} C U^2 \$$ .
Les associations de condensateurs suivent des règles spécifiques : en série, la capacité diminue ; en parallèle, elle s’additionne.
Pour réussir en examen, il faut toujours : schématiser, identifier les grandeurs, choisir la bonne formule, vérifier les unités, et interpréter physiquement le résultat.
Attention aux erreurs classiques : conversion des unités, confusion série/parallèle, et cohérence des résultats.