Relativite — Introduction A La Relativite Restreinte

🚀 Introduction

La relativité restreinte, proposée par Albert Einstein en 1905, a révolutionné notre compréhension du temps, de l’espace et du mouvement. Avant Einstein, la physique classique supposait que le temps et l’espace étaient absolus, identiques pour tous les observateurs. Cependant, des expériences comme celle de Michelson-Morley ont remis en question cette vision. Dans cette leçon, nous allons découvrir les fondements de la relativité restreinte, explorer ses postulats, comprendre ses conséquences (dilatation du temps, contraction des longueurs, etc.) et apprendre à utiliser les outils mathématiques associés pour résoudre des problèmes typiques du programme NS4.

🧠 Intuition physique

Imaginez deux trains roulant à grande vitesse l’un par rapport à l’autre. Si vous êtes assis dans l’un des trains, les lois de la physique semblent identiques à celles que vous observeriez à l’arrêt. Mais que se passe-t-il si vous mesurez la vitesse de la lumière émise par une lampe dans votre train ? La relativité restreinte affirme que, quelle que soit la vitesse du train, la lumière se propage toujours à la même vitesse dans le vide ( $\$ c \$$ ), pour tous les observateurs. Cela va à l’encontre de notre intuition quotidienne, mais a été confirmé par de nombreuses expériences. Cette théorie nous oblige à repenser la notion de simultanéité, la façon dont le temps s’écoule et la manière dont les objets mesurent les distances lorsqu’ils sont en mouvement relatif.

📘 Définitions

Relativité restreinte : Théorie physique décrivant le comportement de l’espace et du temps pour des objets en mouvement rectiligne uniforme les uns par rapport aux autres.
Référentiel : Système de coordonnées dans lequel on observe et mesure les événements.
Observateur : Personne ou appareil effectuant des mesures dans un référentiel donné.
Événement : Un point précis dans l’espace et le temps (ex : un éclair à un endroit donné à un instant précis).
Simultanéité : Deux événements sont simultanés s’ils se produisent au même instant dans un référentiel donné.
Dilatation du temps : Phénomène selon lequel un intervalle de temps mesuré dans un référentiel en mouvement paraît plus long que dans le référentiel propre à l’événement.
Contraction des longueurs : Réduction apparente de la longueur d’un objet mesurée dans le sens du mouvement par un observateur extérieur.
Transformation de Lorentz : Ensemble d’équations reliant les coordonnées d’un événement dans deux référentiels en mouvement relatif uniforme.
Équivalence masse-énergie : Principe selon lequel la masse et l’énergie sont deux formes d’une même réalité, reliées par la célèbre formule $\$ E = mc^2 \$$ .

📐 Formules importantes

Vitesse de la lumière :
$c = 3{,}00 \\times 10^8 \\mathrm{m/s}$
Dilatation du temps :

$$\\Delta t = \\gamma \\Delta t_0$$

où :
- $\$ \\Delta t \$$ : durée mesurée par l’observateur immobile
- $\$ \\Delta t_0 \$$ : durée propre (dans le référentiel de l’événement)
- $\$ \\gamma = \\frac{1}{\\sqrt{1 – \\frac{v^2}{c^2}}} \$$ : facteur de Lorentz
- $\$ v \$$ : vitesse relative entre les référentiels ( $\$ \\mathrm{m/s} \$$ )
Contraction des longueurs :

$$L = \\frac{L_0}{\\gamma}$$

où :
- $\$ L \$$ : longueur mesurée par l’observateur immobile
- $\$ L_0 \$$ : longueur propre (dans le référentiel de l’objet)
Transformation de Lorentz (pour l’axe x) :

$$
\\begin{cases}
x’ = \\gamma (x – vt) \\
t’ = \\gamma \\left( t – \\frac{vx}{c^2} \\right)
\\end{cases}
$$

où :
- $\$ x, t \$$ : position et temps dans le référentiel fixe
- $\$ x’, t’ \$$ : position et temps dans le référentiel en mouvement
Addition relativiste des vitesses :

$$u’ = \\frac{u + v}{1 + \\frac{uv}{c^2}}$$

où :
- $\$ u \$$ : vitesse de l’objet dans le référentiel fixe
- $\$ v \$$ : vitesse du référentiel mobile
- $\$ u’ \$$ : vitesse de l’objet dans le référentiel mobile
Équivalence masse-énergie :

$$E = mc^2$$

où :
- $\$ E \$$ : énergie ( $\$ \\mathrm{J} \$$ )
- $\$ m \$$ : masse ( $\$ \\mathrm{kg} \$$ )

🧭 Méthode générale

Analyser la situation : Identifier les référentiels, les observateurs et les événements concernés.
Choisir la formule adaptée : Selon la question (temps, longueur, vitesse, énergie), sélectionner la formule relativiste appropriée.
Identifier les grandeurs : Noter toutes les données avec leurs unités et vérifier la cohérence des unités.
Appliquer la formule : Substituer les valeurs numériques en respectant les signes et les conventions.
Effectuer le calcul : Calculer étape par étape, en gardant une attention particulière à l’utilisation de la vitesse de la lumière.
Interpréter le résultat : Expliquer le sens physique de la réponse obtenue (par exemple, pourquoi le temps paraît plus long ou la longueur plus courte).

🟢 Exemple facile

Dilatation du temps pour une vitesse modérée

Données : Un vaisseau spatial se déplace à $\$ v = 0{,}6c \$$ . La durée propre d’un événement à bord est $\$ \\Delta t_0 = 2{,}0 \\mathrm{s} \$$ .
Cherché : Quelle est la durée mesurée par un observateur immobile sur Terre ?
Méthode : Utiliser la formule de la dilatation du temps.
Formule utilisée : $\$ \\Delta t = \\gamma \\Delta t_0 \$$ avec $\$ \\gamma = \\frac{1}{\\sqrt{1 – \\frac{v^2}{c^2}}} \$$
Identification des grandeurs :
- $\$ v = 0{,}6c = 0{,}6 \\times 3{,}00 \\times 10^8 \\mathrm{m/s} \$$
- $\$ \\Delta t_0 = 2{,}0 \\mathrm{s} \$$
Substitution :
- Calcul de $\$ \\gamma \$$ :
$\$ \\gamma = \\frac{1}{\\sqrt{1 – (0{,}6)^2}} = \\frac{1}{\\sqrt{1 – 0{,}36}} = \\frac{1}{\\sqrt{0{,}64}} = \\frac{1}{0{,}8} = 1{,}25 \$$
- Calcul de $\$ \\Delta t \$$ :
$\$ \\Delta t = 1{,}25 \\times 2{,}0 \\mathrm{s} = 2{,}5 \\mathrm{s} \$$
Conclusion physique : Pour l’observateur immobile, l’événement dure 2,5 secondes, soit plus longtemps que dans le référentiel du vaisseau. C’est la dilatation du temps.

🟡 Exemple moyen

Contraction des longueurs pour un train relativiste

Données : Un train de longueur propre $\$ L_0 = 200 \\mathrm{m} \$$ se déplace à $\$ v = 0{,}8c \$$ par rapport à un quai.
Cherché : Quelle longueur le contrôleur sur le quai mesure-t-il pour le train ?
Méthode : Utiliser la formule de contraction des longueurs.
Formule utilisée : $\$ L = \\frac{L_0}{\\gamma} \$$ avec $\$ \\gamma = \\frac{1}{\\sqrt{1 – \\frac{v^2}{c^2}}} \$$
Identification des grandeurs :
- $\$ L_0 = 200 \\mathrm{m} \$$
- $\$ v = 0{,}8c \$$
Substitution :
- Calcul de $\$ \\gamma \$$ :
$\$ \\gamma = \\frac{1}{\\sqrt{1 – (0{,}8)^2}} = \\frac{1}{\\sqrt{1 – 0{,}64}} = \\frac{1}{\\sqrt{0{,}36}} = \\frac{1}{0{,}6} = 1{,}67 \$$
- Calcul de $\$ L \$$ :
$\$ L = \\frac{200 \\mathrm{m}}{1{,}67} \\approx 119{,}8 \\mathrm{m} \$$
Conclusion physique : Pour l’observateur sur le quai, le train paraît mesuré 119,8 mètres, plus court que sa longueur propre. C’est la contraction des longueurs.

🔴 Exemple difficile

Paradoxe des jumeaux

Données : Un jumeau part en voyage spatial à une vitesse de $\$ v = 0{,}95c \$$ vers une étoile distante de 6 années-lumière (aller simple selon la Terre), puis revient à la même vitesse. Son frère reste sur Terre.
Cherché : Quelle différence d’âge y aura-t-il entre les deux jumeaux à la fin du voyage ?
Méthode : Calculer la durée du voyage selon la Terre, puis la durée propre vécue par le voyageur grâce à la dilatation du temps.
Formule utilisée :
- Durée dans le référentiel Terre : $\$ t = \\frac{d}{v} \$$ (pour un trajet)
- Durée propre du voyageur : $\$ t_0 = \\frac{t}{\\gamma} \$$
- Facteur de Lorentz : $\$ \\gamma = \\frac{1}{\\sqrt{1 – \\frac{v^2}{c^2}}} \$$
Identification des grandeurs :
- $\$ d = 6 \\mathrm{a.l.} \$$ (année-lumière)
- $\$ v = 0{,}95c \$$
- Trajet aller-retour : distance totale $\$ = 12 \\mathrm{a.l.} \$$
Substitution :
- Durée totale sur Terre :
$\$ t = \\frac{12 \\mathrm{a.l.}}{0{,}95c} \$$

Or, $\$ 1 \\mathrm{a.l.} \$$ = distance parcourue par la lumière en 1 an, donc $\$ \\frac{\\mathrm{a.l.}}{c} = 1 \\mathrm{an} \$$ .

Donc, $\$ t = \\frac{12}{0{,}95} \\mathrm{ans} \\approx 12{,}63 \\mathrm{ans} \$$
- Calcul de $\$ \\gamma \$$ :
$\$ \\gamma = \\frac{1}{\\sqrt{1 – (0{,}95)^2}} = \\frac{1}{\\sqrt{1 – 0{,}9025}} = \\frac{1}{\\sqrt{0{,}0975}} \\approx \\frac{1}{0{,}312} \\approx 3{,}21 \$$
- Durée propre vécue par le voyageur :
$\$ t_0 = \\frac{12{,}63 \\mathrm{ans}}{3{,}21} \\approx 3{,}94 \\mathrm{ans} \$$
Conclusion physique : À la fin du voyage, le jumeau resté sur Terre aura vieilli de 12,63 ans, tandis que le voyageur n’aura vieilli que de 3,94 ans. La différence d’âge sera donc de 8,69 ans en faveur du voyageur ! C’est le fameux paradoxe des jumeaux.

⚠️ Erreurs courantes

Confondre la durée propre ( $\$ \\Delta t_0 \$$ ) et la durée mesurée ( $\$ \\Delta t \$$ ). La durée propre est toujours celle mesurée dans le référentiel où l’événement a lieu au même endroit.
Oublier d’utiliser le facteur de Lorentz ( $\$ \\gamma \$$ ) ou mal le calculer (attention aux parenthèses et à la racine carrée).
Utiliser la formule classique d’addition des vitesses au lieu de la formule relativiste.
Oublier de convertir les unités (par exemple, années-lumière en mètres si nécessaire).
Appliquer la contraction des longueurs dans la mauvaise direction (elle ne concerne que la direction du mouvement).
Négliger l’importance de la vitesse de la lumière comme limite infranchissable.

🎯 Réflexes d’examen

Identifier clairement les référentiels impliqués : qui est « au repos » et qui est « en mouvement » ?
Vérifier systématiquement les unités et les ordres de grandeur (par exemple, $\$ c = 3{,}00 \\times 10^8 \\mathrm{m/s} \$$ ).
Justifier chaque étape de calcul par une phrase d’explication physique.
En cas de doute, dessiner un schéma des référentiels et des événements.
Se rappeler que la durée propre est toujours la plus courte (pour la dilatation du temps) et la longueur propre la plus longue (pour la contraction des longueurs).
Pour les problèmes d’addition de vitesses, utiliser la formule relativiste même si les vitesses semblent faibles.
Ne jamais dépasser la vitesse de la lumière dans les calculs.

🟢 Exemple guidé

Addition relativiste des vitesses

Données : Un vaisseau se déplace à $\$ v = 0{,}7c \$$ par rapport à la Terre. Un robot lance une sonde vers l’avant à $\$ u’ = 0{,}5c \$$ (vitesse par rapport au vaisseau).
Cherché : Quelle est la vitesse de la sonde par rapport à la Terre ?
Méthode : Utiliser la formule d’addition relativiste des vitesses.
Formule utilisée : $\$ u = \\frac{u’ + v}{1 + \\frac{u’v}{c^2}} \$$
Identification des grandeurs :
- $\$ u’ = 0{,}5c \$$
- $\$ v = 0{,}7c \$$
Substitution :
$\$ u = \\frac{0{,}5c + 0{,}7c}{1 + \\frac{(0{,}5c) \\times (0{,}7c)}{c^2}} = \\frac{1{,}2c}{1 + 0{,}35} = \\frac{1{,}2c}{1{,}35} \\approx 0{,}89c \$$
Conclusion physique : Pour un observateur sur Terre, la sonde se déplace à 0,89c, soit moins que la vitesse de la lumière. La vitesse de la lumière n’est jamais dépassée, même en additionnant deux vitesses importantes.

📝 Exercice d’application

Un proton accéléré dans un accélérateur atteint une vitesse de $\$ v = 0{,}99c \$$ . Sa masse au repos est $\$ m_0 = 1{,}67 \\times 10^{-27} \\mathrm{kg} \$$ .

1. Calculer le facteur de Lorentz $\$ \\gamma \$$ pour ce proton.
2. Calculer son énergie totale $\$ E \$$ grâce à la formule relativiste.
3. Quelle est l’énergie supplémentaire due à son mouvement ?

Correction détaillée :

1. Calcul de $\$ \\gamma \$$ :
$\$ \\gamma = \\frac{1}{\\sqrt{1 – (0{,}99)^2}} = \\frac{1}{\\sqrt{1 – 0{,}9801}} = \\frac{1}{\\sqrt{0{,}0199}} \\approx \\frac{1}{0{,}141} \\approx 7{,}09 \$$
2. Calcul de l’énergie totale :
$\$ E = \\gamma m_0 c^2 = 7{,}09 \\times 1{,}67 \\times 10^{-27} \\mathrm{kg} \\times (3{,}00 \\times 10^8 \\mathrm{m/s})^2 \$$

$\$ (3{,}00 \\times 10^8)^2 = 9{,}00 \\times 10^{16} \$$

$\$ E = 7{,}09 \\times 1{,}67 \\times 9{,}00 \\times 10^{-27+16} \$$

$\$ 1{,}67 \\times 9{,}00 = 15{,}03 \$$

$\$ E = 7{,}09 \\times 15{,}03 \\times 10^{-11} \$$

$\$ 7{,}09 \\times 15{,}03 \\approx 106{,}6 \$$

$\$ E \\approx 106{,}6 \\times 10^{-11} \\mathrm{J} = 1{,}07 \\times 10^{-9} \\mathrm{J} \$$
3. Énergie supplémentaire due au mouvement :
Énergie au repos $\$ E_0 = m_0 c^2 = 1{,}67 \\times 10^{-27} \\times 9{,}00 \\times 10^{16} = 15{,}03 \\times 10^{-11} \\mathrm{J} \$$

Énergie cinétique relativiste $\$ = E – E_0 = (1{,}07 \\times 10^{-9} – 1{,}50 \\times 10^{-10}) \\mathrm{J} = 9{,}2 \\times 10^{-10} \\mathrm{J} \$$
Conclusion : À grande vitesse, l’énergie totale du proton est bien supérieure à son énergie de repos. La différence correspond à l’énergie cinétique relativiste.

✅ Résumé final

La relativité restreinte repose sur deux postulats : les lois de la physique sont les mêmes dans tous les référentiels inertiels, et la vitesse de la lumière dans le vide est la même pour tous les observateurs.
Elle conduit à des phénomènes contre-intuitifs : dilatation du temps, contraction des longueurs, relativité de la simultanéité.
Les transformations de Lorentz permettent de relier les mesures entre référentiels en mouvement relatif.
L’addition des vitesses obéit à une loi non classique pour garantir que la vitesse de la lumière n’est jamais dépassée.
L’équivalence masse-énergie ( $\$ E = mc^2 \$$ ) montre que la masse est une forme d’énergie.
Pour réussir en examen, il faut toujours identifier le référentiel, justifier les formules utilisées, vérifier les unités et donner une interprétation physique des résultats.