Travail Et Energie — Pendule Simple

🚀 Introduction

Le pendule simple est un système fondamental en physique, illustrant le mouvement oscillatoire et les échanges d’énergie entre énergie cinétique et énergie potentielle. Comprendre le pendule simple permet de relier les concepts de force, d’accélération, de trajectoire, et d’énergie mécanique. Cette leçon vous guidera pas à pas pour visualiser, modéliser et résoudre des problèmes de pendule simple, comme exigé aux examens NS4.

🧠 Intuition physique

Imaginez une petite boule suspendue à un fil inextensible et sans masse, attachée à un point fixe. Si vous écartez la boule de sa position d’équilibre et que vous la relâchez, elle oscille de part et d’autre, décrivant un arc de cercle.

La boule monte : elle ralentit, son énergie cinétique diminue, son énergie potentielle augmente.
La boule descend : elle accélère, son énergie cinétique augmente, son énergie potentielle diminue.
Au point le plus bas, la vitesse est maximale et l’énergie potentielle minimale.
Le mouvement est périodique : il se répète à intervalles réguliers.

Ce mouvement est dû à la force de gravité qui ramène toujours la boule vers sa position d’équilibre, créant un mouvement oscillatoire.

📘 Définitions

Pendule simple : Système constitué d’une masse ponctuelle (appelée « boble ») suspendue à un fil inextensible et sans masse, de longueur $\$ l \$$ , oscillant sous l’effet de la gravité.
Position d’équilibre : Position la plus basse où la boble est immobile, le fil à la verticale.
Amplitude ( $\$ \\theta_0 \$$ ) : Angle maximal entre le fil et la verticale lors de l’oscillation.
Période ( $\$ T \$$ ) : Temps nécessaire pour effectuer une oscillation complète (aller-retour).
Oscillation : Mouvement périodique autour de la position d’équilibre.
Énergie mécanique : Somme de l’énergie cinétique et de l’énergie potentielle gravitationnelle du système.

📐 Formules importantes

Période du pendule simple (pour petits angles, $\$ \\theta_0 \\leq 10^\\circ \$$ ) :

$$T = 2\\pi \\sqrt{\\frac{l}{g}}$$
- $\$ T \$$ : période (en secondes, $\$ \\mathrm{s} \$$ )
- $\$ l \$$ : longueur du fil (en mètres, $\$ \\mathrm{m} \$$ )
- $\$ g \$$ : accélération de la pesanteur (en $\$ \\mathrm{m/s^2} \$$ ), sur Terre $\$ g \\approx 9{,}8 \\mathrm{m/s^2} \$$
Remarque : Cette formule est valable uniquement pour les petits angles (approximation du mouvement harmonique simple).
Énergie mécanique :

$$E_m = E_c + E_p$$
- $\$ E_m \$$ : énergie mécanique totale (en joules, $\$ \\mathrm{J} \$$ )
- $\$ E_c \$$ : énergie cinétique ( $\$ \\frac{1}{2}mv^2 \$$ )
- $\$ E_p \$$ : énergie potentielle gravitationnelle ( $\$ mgh \$$ )
Vitesse au point le plus bas :

$$v_{\\text{max}} = \\sqrt{2g l (1 – \\cos\\theta_0)}$$
- $\$ v_{\\text{max}} \$$ : vitesse maximale (en $\$ \\mathrm{m/s} \$$ )
- $\$ \\theta_0 \$$ : amplitude initiale (en radians)

🟢 Exemple facile

Calcul de la période d’un pendule simple

Données : $\$ l = 1{,}0 \\mathrm{m} \$$ , $\$ g = 9{,}8 \\mathrm{m/s^2} \$$
Cherché : La période $\$ T \$$ du pendule.
Méthode : Utiliser la formule de la période pour petits angles.
Formule utilisée : $\$ T = 2\\pi \\sqrt{\\frac{l}{g}} \$$
Identification des grandeurs :
- $\$ l = 1{,}0 \\mathrm{m} \$$
- $\$ g = 9{,}8 \\mathrm{m/s^2} \$$
Substitution : $T = 2\\pi \\sqrt{\\frac{1{,}0}{9{,}8}}$
Calcul détaillé :
- $\$ \\frac{1{,}0}{9{,}8} = 0{,}102 \$$
- $\$ \\sqrt{0{,}102} = 0{,}319 \$$
- $\$ 2\\pi \\times 0{,}319 = 2{,}00 \$$
Donc, $\$ T \\approx 2{,}00 \\mathrm{s} \$$
Conclusion physique : Un pendule de 1 mètre de long a une période d’environ 2 secondes.

🟡 Exemple moyen

Calcul de la vitesse maximale au point le plus bas

Données : $\$ l = 0{,}80 \\mathrm{m} \$$ , $\$ g = 9{,}8 \\mathrm{m/s^2} \$$ , $\$ \\theta_0 = 20^\\circ \$$
Cherché : La vitesse maximale $\$ v_{\\text{max}} \$$ de la boble au point le plus bas.
Méthode : Utiliser la conservation de l’énergie mécanique.
Formule utilisée : $\$ v_{\\text{max}} = \\sqrt{2g l (1 – \\cos\\theta_0)} \$$
Identification des grandeurs :
- $\$ l = 0{,}80 \\mathrm{m} \$$
- $\$ g = 9{,}8 \\mathrm{m/s^2} \$$
- $\$ \\theta_0 = 20^\\circ = 0{,}349 \\mathrm{rad} \$$ (conversion : $\$ \\theta_0 \$$ en radians)
Substitution : $v_{\\text{max}} = \\sqrt{2 \\times 9{,}8 \\times 0{,}80 \\times (1 – \\cos 0{,}349)}$
Calcul détaillé :
- $\$ \\cos 0{,}349 = 0{,}94 \$$
- $\$ 1 – 0{,}94 = 0{,}06 \$$
- $\$ 2 \\times 9{,}8 \\times 0{,}80 = 15{,}68 \$$
- $\$ 15{,}68 \\times 0{,}06 = 0{,}9408 \$$
- $\$ \\sqrt{0{,}9408} = 0{,}97 \$$
Donc, $\$ v_{\\text{max}} \\approx 0{,}97 \\mathrm{m/s} \$$
Conclusion physique : La boble atteint une vitesse maximale d’environ 0,97 m/s au point le plus bas.

🔴 Exemple difficile

Problème d’examen : énergie mécanique et amplitude

Données :
- Masse de la boble : $\$ m = 150 \\mathrm{g} = 0{,}150 \\mathrm{kg} \$$
- Longueur du fil : $\$ l = 1{,}20 \\mathrm{m} \$$
- Amplitude initiale : $\$ \\theta_0 = 30^\\circ = 0{,}524 \\mathrm{rad} \$$
- Accélération de la pesanteur : $\$ g = 9{,}8 \\mathrm{m/s^2} \$$
Cherché : Calculer l’énergie mécanique du système et la vitesse de la boble à mi-hauteur.
Méthode :
1. Calculer l’énergie mécanique au point de départ (position la plus haute).
2. Déterminer la hauteur à mi-chemin entre la position la plus haute et la plus basse.
3. Utiliser la conservation de l’énergie mécanique pour trouver la vitesse à mi-hauteur.
Formules utilisées :
- Énergie potentielle au point de départ : $\$ E_{p0} = mgh_0 \$$
- Hauteur initiale : $\$ h_0 = l(1 – \\cos\\theta_0) \$$
- Énergie mécanique : $\$ E_m = E_{p0} \$$ (toute l’énergie est potentielle au départ)
- À mi-hauteur : $\$ h_1 = \\frac{h_0}{2} \$$ , $\$ E_{p1} = mgh_1 \$$
- Conservation de l’énergie : $\$ E_m = E_{c1} + E_{p1} \\Rightarrow E_{c1} = E_m – E_{p1} \$$
- Vitesse à mi-hauteur : $\$ E_{c1} = \\frac{1}{2}mv_1^2 \\Rightarrow v_1 = \\sqrt{\\frac{2E_{c1}}{m}} \$$
Identification des grandeurs :
- $\$ m = 0{,}150 \\mathrm{kg} \$$
- $\$ l = 1{,}20 \\mathrm{m} \$$
- $\$ \\theta_0 = 0{,}524 \\mathrm{rad} \$$
- $\$ g = 9{,}8 \\mathrm{m/s^2} \$$
Substitution et calculs détaillés :
- 1. Hauteur initiale : \$ h_0 = 1{,}20 \\times (1 – \\cos 0{,}524) \$
  - $\$ \\cos 0{,}524 = 0{,}866 \$$
  - $\$ 1 – 0{,}866 = 0{,}134 \$$
  - $\$ h_0 = 1{,}20 \\times 0{,}134 = 0{,}1608 \\mathrm{m} \$$
- 2. Énergie mécanique : $\$ E_m = mgh_0 = 0{,}150 \\times 9{,}8 \\times 0{,}1608 = 0{,}236 \\mathrm{J} \$$
- 3. Hauteur à mi-hauteur : $\$ h_1 = \\frac{0{,}1608}{2} = 0{,}0804 \\mathrm{m} \$$
- 4. Énergie potentielle à mi-hauteur : $\$ E_{p1} = 0{,}150 \\times 9{,}8 \\times 0{,}0804 = 0{,}118 \\mathrm{J} \$$
- 5. Énergie cinétique à mi-hauteur : $\$ E_{c1} = 0{,}236 – 0{,}118 = 0{,}118 \\mathrm{J} \$$
- 6. Vitesse à mi-hauteur :
  - $\$ v_1 = \\sqrt{\\frac{2 \\times 0{,}118}{0{,}150}} = \\sqrt{1{,}573} = 1{,}25 \\mathrm{m/s} \$$
Conclusion physique : L’énergie mécanique du pendule est $\$ 0{,}236 \\mathrm{J} \$$ et la vitesse de la boble à mi-hauteur est $\$ 1{,}25 \\mathrm{m/s} \$$ .

⚠️ Erreurs courantes

Oublier de convertir les angles en radians dans les formules trigonométriques.
Utiliser la formule de la période pour de grands angles (elle n’est valable que pour $\$ \\theta_0 \\leq 10^\\circ \$$ ).
Confondre la longueur du fil avec la hauteur de la boble.
Oublier d’utiliser les unités SI (mètres, secondes, kilogrammes).
Prendre la masse en compte pour la période (la période ne dépend pas de la masse !).
Erreur de signe dans les calculs d’énergie potentielle (toujours mesurer la hauteur par rapport à la position la plus basse).

🎯 Réflexes d’examen

Faire systématiquement un schéma annoté du pendule avec les forces et les positions clés.
Vérifier que l’angle est petit avant d’appliquer la formule de la période.
Identifier clairement ce qui est cherché et les données utiles.
Vérifier la cohérence des unités à chaque étape.
Justifier chaque étape par une loi physique (conservation de l’énergie, principe fondamental de la dynamique…)
Rédiger les réponses avec une phrase de conclusion physique.

🟢 Exemple guidé

Un pendule simple de longueur $\$ 0{,}50 \\mathrm{m} \$$ effectue des oscillations de faible amplitude. Calculez sa période.

Données : $\$ l = 0{,}50 \\mathrm{m} \$$ , $\$ g = 9{,}8 \\mathrm{m/s^2} \$$
Cherché : La période $\$ T \$$ .
Méthode : Utiliser la formule de la période pour petits angles.
Formule : $\$ T = 2\\pi \\sqrt{\\frac{l}{g}} \$$
Substitution : $T = 2\\pi \\sqrt{\\frac{0{,}50}{9{,}8}}$
Calcul détaillé :
- $\$ \\frac{0{,}50}{9{,}8} = 0{,}051 \$$
- $\$ \\sqrt{0{,}051} = 0{,}226 \$$
- $\$ 2\\pi \\times 0{,}226 = 1{,}42 \$$
Donc, $\$ T \\approx 1{,}42 \\mathrm{s} \$$
Conclusion physique : Le pendule effectue une oscillation complète en environ 1,42 seconde.

📝 Exercice d’application

Un pendule simple est constitué d’une boble de $\$ 200 \\mathrm{g} \$$ suspendue à un fil de $\$ 1{,}5 \\mathrm{m} \$$ . On écarte la boble d’un angle de $\$ 15^\\circ \$$ puis on la lâche sans vitesse initiale. Calculez :

La période des oscillations.
La vitesse de la boble au point le plus bas.

Données : $\$ m = 0{,}200 \\mathrm{kg} \$$ , $\$ l = 1{,}5 \\mathrm{m} \$$ , $\$ \\theta_0 = 15^\\circ = 0{,}262 \\mathrm{rad} \$$ , $\$ g = 9{,}8 \\mathrm{m/s^2} \$$

Indications : Utilisez la formule de la période pour petits angles et la conservation de l’énergie mécanique pour la vitesse.

Essayez de résoudre l’exercice en suivant la méthode générale, puis vérifiez vos résultats avec votre enseignant.

✅ Résumé final

Le pendule simple illustre le mouvement oscillatoire et la conservation de l’énergie mécanique.
La période dépend uniquement de la longueur du fil et de la gravité, pas de la masse ni de l’amplitude (pour petits angles).
Pour résoudre un problème de pendule simple, il faut toujours :
- Analyser le système et faire un schéma.
- Choisir la formule adaptée et vérifier les unités.
- Montrer tous les calculs et interpréter le résultat.
Attention aux erreurs de conversion d’unités et d’angles !
Entraînez-vous avec des exercices variés pour acquérir des réflexes d’examen.