Travail Et Energie — Mouvement Des Projectiles

🚀 Introduction

Le mouvement des projectiles est un sujet fondamental en physique NS4, car il relie les notions de mouvement, d’accélération, de vecteurs et d’énergie. Ce thème permet de comprendre comment un objet lancé dans l’air, comme une balle ou une pierre, se déplace sous l’effet de la gravité, en absence de résistance de l’air. Maîtriser ce chapitre est essentiel pour réussir les examens du MENFP et pour développer une intuition physique solide sur les mouvements dans le plan.

🧠 Intuition physique

Imaginez que vous lancez une balle en l’air avec un certain angle par rapport au sol. Que se passe-t-il ? La balle monte, ralentit, atteint un point le plus haut, puis redescend et touche le sol plus loin. Ce mouvement est appelé mouvement de projectile. Il combine deux mouvements simultanés :

Un mouvement horizontal à vitesse constante (pas d’accélération horizontale si l’air est négligé).
Un mouvement vertical uniformément accéléré (accélération due à la gravité, vers le bas).

La trajectoire réelle est une parabole. Ce mouvement est partout autour de nous : ballon de football, jet d’eau, pierres lancées, etc.

📘 Définitions

Projectile : Objet lancé dans l’air soumis uniquement à la gravité (on néglige la résistance de l’air).
Trajectoire : Chemin suivi par le projectile dans l’espace.
Portée ( $\$R\$$ ) : Distance horizontale totale parcourue par le projectile avant de toucher le sol.
Hauteur maximale ( $\$H_{max}\$$ ) : Altitude maximale atteinte par le projectile.
Temps de vol ( $\$T\$$ ) : Durée totale pendant laquelle le projectile reste en l’air.
Accélération de la pesanteur ( $\$g\$$ ) : Accélération constante dirigée vers le bas, $\$g \\approx 9{,}8 \\mathrm{m/s^2}\$$ .

📐 Formules importantes

Considérons un projectile lancé avec une vitesse initiale $\$v_0\$$ sous un angle $\$\\theta\$$ par rapport à l’horizontale, depuis une hauteur nulle.

Décomposition de la vitesse initiale :
$\$ v_{0x} = v_0 \\cos(\\theta) \$$ (horizontal)
$\$ v_{0y} = v_0 \\sin(\\theta) \$$ (vertical)
Position à l’instant $\$t\$$ :
$\\begin{cases} x(t) = v_0 \\cos(\\theta) \\cdot t \\ y(t) = v_0 \\sin(\\theta) \\cdot t – \\frac{1}{2}g t^2 \\end{cases}$
Équation de la trajectoire (éliminer $\$t\$$ ) :
$y(x) = x \\tan(\\theta) – \\frac{g}{2 v_0^2 \\cos^2(\\theta)} x^2$
Temps de vol total ( $\$T\$$ ) :
$T = \\frac{2 v_0 \\sin(\\theta)}{g}$
Portée maximale ( $\$R\$$ ) :
$R = \\frac{v_0^2 \\sin(2\\theta)}{g}$
Hauteur maximale ( $\$H_{max}\$$ ) :
$H_{max} = \\frac{v_0^2 \\sin^2(\\theta)}{2g}$

Attention : Toutes ces formules supposent que le projectile part du sol ( $\$y_0 = 0\$$ ) et retombe au même niveau.

🧭 Méthode générale

Analyser l’énoncé : Identifier la vitesse initiale, l’angle, la hauteur de départ, la grandeur cherchée.
Décomposer la vitesse initiale : Calculer $\$v_{0x}\$$ et $\$v_{0y}\$$ .
Choisir la formule adaptée : Selon la grandeur cherchée (portée, hauteur, temps, position à un instant).
Identifier les unités : Toujours vérifier que les unités sont cohérentes ( $\$\\mathrm{m}\$$ , $\$\\mathrm{s}\$$ , $\$\\mathrm{m/s}\$$ , etc.).
Substituer les valeurs numériques : Remplacer chaque variable par sa valeur et son unité.
Effectuer le calcul : Calculer étape par étape, sans sauter d’étape.
Interpréter le résultat : Vérifier si le résultat est cohérent physiquement (signe, ordre de grandeur, etc.).

🟢 Exemple facile

Données :

Un projectile est lancé avec une vitesse initiale $\$v_0 = 10 \\mathrm{m/s}\$$ sous un angle de $\$\\theta = 30^\\circ\$$ par rapport à l’horizontale.
On néglige la résistance de l’air.
On cherche la portée $\$R\$$ .

Cherché : $\$R\$$ (portée maximale)

Méthode : Utiliser la formule de la portée.

Formule utilisée :

R = \\frac{v_0^2 \\sin(2\\theta)}{g}

Identification des grandeurs :

$\$v_0 = 10 \\mathrm{m/s}\$$
$\$\\theta = 30^\\circ\$$
$\$g = 9{,}8 \\mathrm{m/s^2}\$$

Substitution :

$\$\\sin(2 \\times 30^\\circ) = \\sin(60^\\circ) = 0{,}866\$$

$\$R = \\frac{10^2 \\times 0{,}866}{9{,}8}\$$

Calcul détaillé :

$\$10^2 = 100\$$
$\$100 \\times 0{,}866 = 86{,}6\$$
$\$R = \\frac{86{,}6}{9{,}8} \\approx 8{,}84 \\mathrm{m}\$$

Conclusion physique :

Le projectile parcourra une distance horizontale de $\$8{,}84 \\mathrm{m}\$$ avant de toucher le sol.

🟡 Exemple moyen

Données :

Un ballon est lancé à $\$v_0 = 20 \\mathrm{m/s}\$$ sous un angle de $\$\\theta = 45^\\circ\$$ .
On néglige la résistance de l’air.
On cherche la hauteur maximale atteinte.

Cherché : $\$H_{max}\$$

Méthode : Utiliser la formule de la hauteur maximale.

Formule utilisée :

H_{max} = \\frac{v_0^2 \\sin^2(\\theta)}{2g}

Identification des grandeurs :

$\$v_0 = 20 \\mathrm{m/s}\$$
$\$\\theta = 45^\\circ\$$
$\$g = 9{,}8 \\mathrm{m/s^2}\$$

Substitution :

$\$\\sin(45^\\circ) = 0{,}707\$$

$\$H_{max} = \\frac{20^2 \\times (0{,}707)^2}{2 \\times 9{,}8}\$$

Calcul détaillé :

$\$20^2 = 400\$$
$\$(0{,}707)^2 = 0{,}5\$$
$\$400 \\times 0{,}5 = 200\$$
$\$2 \\times 9{,}8 = 19{,}6\$$
$\$H_{max} = \\frac{200}{19{,}6} \\approx 10{,}2 \\mathrm{m}\$$

Conclusion physique :

Le ballon atteindra une hauteur maximale de $\$10{,}2 \\mathrm{m}\$$ avant de redescendre.

🔴 Exemple difficile

Données :

Un projectile est lancé depuis une falaise de $\$h_0 = 20 \\mathrm{m}\$$ de hauteur, avec une vitesse initiale $\$v_0 = 15 \\mathrm{m/s}\$$ sous un angle de $\$\\theta = 37^\\circ\$$ par rapport à l’horizontale.
On néglige la résistance de l’air.
On cherche la distance horizontale totale parcourue avant que le projectile n’atteigne le sol (portée totale).

Cherché : Portée totale ( $\$R\$$ ) depuis une hauteur $\$h_0\$$ .

Méthode :

Décomposer la vitesse initiale.
Déterminer le temps de chute total à partir de $\$y(t) = 0\$$ .
Calculer la distance horizontale parcourue pendant ce temps.

Formules utilisées :

$\$ v_{0x} = v_0 \\cos(\\theta) \$$
$\$ y(t) = h_0 + v_0 \\sin(\\theta) t – \\frac{1}{2} g t^2 \$$
$\$ x(t) = v_{0x} \\cdot t \$$

Identification des grandeurs :

$\$v_0 = 15 \\mathrm{m/s}\$$
$\$\\theta = 37^\\circ\$$
$\$h_0 = 20 \\mathrm{m}\$$
$\$g = 9{,}8 \\mathrm{m/s^2}\$$

Calculs intermédiaires :

$\$\\cos(37^\\circ) = 0{,}798\$$
$\$\\sin(37^\\circ) = 0{,}601\$$
$\$v_{0x} = 15 \\times 0{,}798 = 11{,}97 \\mathrm{m/s}\$$
$\$v_{0y} = 15 \\times 0{,}601 = 9{,}015 \\mathrm{m/s}\$$

1. Trouver le temps de vol total ( $\$t_f\$$ ) :

On cherche $\$t\$$ tel que $\$y(t) = 0\$$ :

$\$0 = 20 + 9{,}015 t – \\frac{1}{2} \\times 9{,}8 t^2\$$

$\$0 = 20 + 9{,}015 t – 4{,}9 t^2\$$

$\$4{,}9 t^2 – 9{,}015 t – 20 = 0\$$

Résolution de l’équation du second degré :

$\$t = \\frac{9{,}015 \\pm \\sqrt{9{,}015^2 + 4 \\times 4{,}9 \\times 20}}{2 \\times 4{,}9}\$$

$\$9{,}015^2 = 81{,}27\$$
$\$4 \\times 4{,}9 \\times 20 = 392\$$
$\$\\sqrt{81{,}27 + 392} = \\sqrt{473{,}27} \\approx 21{,}76\$$

$\$t = \\frac{9{,}015 + 21{,}76}{9{,}8} = \\frac{30{,}775}{9{,}8} \\approx 3{,}14 \\mathrm{s}\$$

2. Calcul de la portée totale :

$\$R = v_{0x} \\times t_f = 11{,}97 \\times 3{,}14 \\approx 37{,}6 \\mathrm{m}\$$

Conclusion physique :

Le projectile lancé depuis une falaise de $\$20 \\mathrm{m}\$$ parcourra une distance horizontale de $\$37{,}6 \\mathrm{m}\$$ avant de toucher le sol.

⚠️ Erreurs courantes

Oublier de convertir les angles en radians si la calculatrice est en mode radian (pour les fonctions trigonométriques).
Confondre les composantes horizontale et verticale de la vitesse initiale.
Utiliser la formule de la portée sans vérifier que le projectile part et arrive au même niveau.
Oublier le signe de la gravité : l’accélération $\$g\$$ est toujours dirigée vers le bas.
Erreur d’unité : mélanger secondes et minutes, ou mètres et centimètres.
Négliger la hauteur initiale dans les cas où le projectile est lancé d’un point élevé.

🎯 Réflexes d’examen

Commencez toujours par dessiner la situation et décomposer la vitesse initiale en $\$v_{0x}\$$ et $\$v_{0y}\$$ .
Identifiez clairement ce qui est donné et ce qui est cherché.
Vérifiez la cohérence des unités à chaque étape.
Pour une hauteur initiale non nulle, utilisez l’équation complète de la position verticale.
Si le projectile retombe à une hauteur différente, ne pas utiliser la formule classique de la portée.
En cas de doute, repérez la variable inconnue et isolez-la dans l’équation adaptée.
Relisez la question pour éviter de donner une réponse incomplète (par exemple, donner la portée au lieu du temps de vol).

🟢 Exemple guidé

Données :

Un élève lance une pierre avec une vitesse initiale de $\$12 \\mathrm{m/s}\$$ sous un angle de $\$60^\\circ\$$ par rapport à l’horizontale.
La pierre part du sol et retombe au sol.

Cherché : Le temps de vol total ( $\$T\$$ ).

Méthode : Utiliser la formule du temps de vol.

Formule utilisée :

T = \\frac{2 v_0 \\sin(\\theta)}{g}

Identification des grandeurs :

$\$v_0 = 12 \\mathrm{m/s}\$$
$\$\\theta = 60^\\circ\$$
$\$g = 9{,}8 \\mathrm{m/s^2}\$$

Substitution :

$\$\\sin(60^\\circ) = 0{,}866\$$

$\$T = \\frac{2 \\times 12 \\times 0{,}866}{9{,}8}\$$

Calcul détaillé :

$\$2 \\times 12 = 24\$$
$\$24 \\times 0{,}866 = 20{,}784\$$
$\$T = \\frac{20{,}784}{9{,}8} \\approx 2{,}12 \\mathrm{s}\$$

Conclusion physique :

La pierre restera en l’air pendant environ $\$2{,}12 \\mathrm{s}\$$ avant de retomber au sol.

🟢 Exercice d’application

Un joueur de football tire un ballon avec une vitesse initiale de $\$18 \\mathrm{m/s}\$$ sous un angle de $\$40^\\circ\$$ par rapport à l’horizontale. Calculez :

La portée maximale du ballon.
La hauteur maximale atteinte.

Indications : Utilisez les formules de la portée et de la hauteur maximale. Faites attention aux unités et aux valeurs trigonométriques.

Correction :

Portée :

$\$\\sin(2 \\times 40^\\circ) = \\sin(80^\\circ) = 0{,}984\$$

$\$R = \\frac{18^2 \\times 0{,}984}{9{,}8} = \\frac{324 \\times 0{,}984}{9{,}8} = \\frac{318{,}816}{9{,}8} \\approx 32{,}5 \\mathrm{m}\$$
Hauteur maximale :

$\$\\sin(40^\\circ) = 0{,}643\$$

$\$H_{max} = \\frac{18^2 \\times (0{,}643)^2}{2 \\times 9{,}8} = \\frac{324 \\times 0{,}413}{19{,}6} = \\frac{133{,}9}{19{,}6} \\approx 6{,}83 \\mathrm{m}\$$

Réponses :

Portée maximale : $\$32{,}5 \\mathrm{m}\$$
Hauteur maximale : $\$6{,}83 \\mathrm{m}\$$

✅ Résumé final

Le mouvement des projectiles combine un mouvement rectiligne uniforme horizontal et un mouvement vertical uniformément accéléré.
La trajectoire est une parabole, déterminée par la vitesse initiale et l’angle de lancement.
Les formules principales permettent de calculer la portée, la hauteur maximale et le temps de vol.
En cas de hauteur initiale non nulle, il faut adapter les équations et résoudre une équation du second degré pour le temps de vol.
Pour réussir en examen, il est crucial de bien décomposer la vitesse initiale, d’appliquer les formules avec rigueur et de vérifier les unités.
Une bonne visualisation du mouvement aide à éviter les erreurs et à interpréter les résultats physiquement.

Travail Et Energie — Mouvement Des Projectiles

🚀 Introduction

🧠 Intuition physique

📘 Définitions

📐 Formules importantes

🧭 Méthode générale

🟢 Exemple facile

🟡 Exemple moyen

🔴 Exemple difficile

⚠️ Erreurs courantes

🎯 Réflexes d’examen

🟢 Exemple guidé

🟢 Exercice d’application

✅ Résumé final

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